2003 年考研数学（二） 第 16 题

「把关于反函数的方程改写成关于原函数的方程」，关键是背熟两条转换式：$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y^{\prime }}$ 与 $\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3}$（注意负号和三次方）。代入后 $(y^{\prime }{)}^3$ 恰好被约掉，非线性方程立刻线性化为 $y^{\prime \prime }-y=\sin x$。第二问是标准常系数二阶非齐次：齐次特征根 $\pm 1$，特解因 $\sin x$ 不与齐次解共振而直接设 $a\cos x+b\sin x$。

本题考查原函数与反函数一、二阶导数的关系，以及二阶常系数线性微分方程的求解。

（1）变换方程。 由反函数求导，$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y^{\prime }(x)}$。再求二阶：
$$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{y^{\prime }}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y^{\prime }}\right)\cdot \frac{dx}{dy}=-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^2}\cdot \frac{1}{y^{\prime }}=-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3}.$$

代入原方程 $\frac{d^{2}x}{d{y}^2}+(y+\sin x){\left(\frac{dx}{dy}\right)}^3=0$：
$$-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3}+(y+\sin x)\cdot \frac{1}{(y^{\prime }{)}^3}=0.$$
两端乘 $(y^{\prime }{)}^3(\ne 0)$，整理得
$$\boxed{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-y=\sin x.}$$

（2）解此方程。 对应齐次方程 $y^{\prime \prime }-y=0$ 的特征方程为 ${\lambda }^2-1=0$，特征根 ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=1$，齐次通解 $y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^x$。
设非齐次特解 $y_0=a\cos x+b\sin x$，则 $y_0^{\prime \prime }-y_0=-2a\cos x-2b\sin x=\sin x$，比较得 $a=0,b=-\frac{1}{2}$。故通解
$$y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^x-\frac{1}{2}\sin x.$$

代入初值。 由 $y(0)=0$：$C_1+C_2=0$。又 $y^{\prime }=-C_1{e}^{-x}+C_2{e}^x-\frac{1}{2}\cos x$，由 $y^{\prime }(0)=\frac{3}{2}$：$-C_1+C_2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，即 $-C_1+C_2=2$。联立解得 $C_1=-1,C_2=1$。所以
$$y=e^x-e^{-x}-\frac{1}{2}\sin x.$$