2003 年考研数学（二） 第 22 题

「三线共点」的代数翻译是核心：常数项吸收进第三个未知量 $z$（令 $z=1$），共点等价于齐次组有非零解 $\iff$ 系数行列式 $D=0$。这条把几何条件转成 $D=0$ 的桥梁给出必要性。行列式 $D$ 化简的关键动作是「各行相加提 $a+b+c$」，剩下的平方和保证它非零、从而 $D=0$ 唯一地逼出 $a+b+c=0$。充分性反过来走：$a+b+c=0$ 让增广矩阵降秩，与系数矩阵秩相等（都是 $2$），由相容性定理得唯一交点。

本题考查用行列式与线性方程组解的理论刻画「三线共点」。 把三条直线方程看成关于未知量的线性方程组，共点即方程组相容（有公共解）。

先算一个关键行列式。 记
$$D=\left|\begin{array}{ccc}a& 2b& 3c\\ b& 2c& 3a\\ c& 2a& 3b\end{array}\right|.$$
把第 $2,3$ 行加到第 $1$ 行，第一行变为 $(a+b+c,2(a+b+c),3(a+b+c))$，提出公因子 $a+b+c$，再化简可得
$$D=-3(a+b+c)[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2].$$
由于三条直线互不相同，$(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\ne 0$，故 $D=0\iff a+b+c=0$。

必要性。 若三线交于一点 $(x_0,y_0)$，则 $(x_0,y_0,1{)}^{\mathrm{T}}$ 是齐次方程组 $\left(\begin{array}{ccc}a& 2b& 3c\\ b& 2c& 3a\\ c& 2a& 3b\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=0$ 的非零解，故系数行列式 $D=0$，从而 $a+b+c=0$。

充分性。 设 $a+b+c=0$。把三条直线看成非齐次方程组 $\{\begin{array}{l}ax+2by=-3c\\ bx+2cy=-3a\\ cx+2ay=-3b\end{array}$，系数矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}a& 2b\\ b& 2c\\ c& 2a\end{array}\right)$，增广矩阵 $\overline{\mathbf{A}}=\left(\begin{array}{ccc}a& 2b& -3c\\ b& 2c& -3a\\ c& 2a& -3b\end{array}\right)$。

一方面 $|\overline{\mathbf{A}}|=-3(a+b+c)[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2]=0$（因 $a+b+c=0$），故 $r(\overline{\mathbf{A}})<3$，即 $r(\overline{\mathbf{A}})\le 2$。
另一方面，由 $c=-(a+b)$，
$$\left|\begin{array}{cc}a& 2b\\ b& 2c\end{array}\right|=2(ac-b^2)=-2[a(a+b)+b^2]=-[a^2+b^2+(a+b{)}^2]\ne 0,$$
故 $r(\mathbf{A})=2$，从而 $r(\overline{\mathbf{A}})\ge 2$。综合得 $r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})=2=$ 未知量个数，方程组有唯一解，即三条直线交于一点。

综上，三条直线交于一点 $\iff a+b+c=0$，证毕。