2003 年考研数学（二） 第 13 题

分段函数在分界点，先「算左、算右」，再拿函数值当尺子：左=右=值就连续，左=右≠值就是可去间断，左≠右才是跳跃。两个 $\frac{0}{0}$ 极限用等价无穷小最快，关键记住冷门的 $x-\arcsin x\sim -\frac{x^3}{6}$ 与 $e^u-1-u\sim \frac{u^2}{2}$。方程 $-6a=2a^2+4$ 的两根 $-1,-2$ 恰好对应两问：极限值 $6$（=函数值）者连续，$12$（≠函数值）者可去。

本题考查分段函数在分界点的连续性与间断点分类。 分别求左极限 $f(0^{-})$、右极限 $f(0^{+})$，再与 $f(0)=6$ 比较：连续 $\iff f(0^{-})=f(0^{+})=f(0)$；可去间断 $\iff f(0^{-})=f(0^{+})$（极限存在）但 $\ne f(0)$。

左极限： 用 $\ln (1+a{x}^3)\sim a{x}^3$ 及 $x-\arcsin x\sim -\frac{x^3}{6}(x\to 0)$，
$$f(0^{-})=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\ln (1+a{x}^3)}{x-\arcsin x}=a\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^3}{x-\arcsin x}=a\cdot \frac{x^3}{-\frac{1}{6}{x}^3}{|}_{x\to 0}=-6a.$$

右极限： 分母 $x\sin \frac{x}{4}\sim x\cdot \frac{x}{4}=\frac{x^2}{4}$，又 $e^{ax}-1-ax\sim \frac{(ax{)}^2}{2}=\frac{a^2}{2}{x}^2$，故
$$f(0^{+})=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{e^{ax}+x^2-ax-1}{x\sin \frac{x}{4}}=4\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{(e^{ax}-1-ax)+x^2}{x^2}=4\left(\frac{a^2}{2}+1\right)=2(a^2+2).$$

定 $a$： 令 $f(0^{-})=f(0^{+})$，得 $-6a=2a^2+4$，即 $a^2+3a+2=0$，$(a+1)(a+2)=0$，解得 $a=-1$ 或 $a=-2$。

判定：
当 $a=-1$ 时，$f(0^{-})=f(0^{+})=-6(-1)=6=f(0)$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续；
当 $a=-2$ 时，$f(0^{-})=f(0^{+})=-6(-2)=12\ne 6=f(0)$，极限存在但不等于函数值，故 $x=0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点。