2003 年考研数学（二） 第 12 题

「$\mathrm{I}$ 被 $\mathrm{II}$ 表示」这句话只往一个方向传递信息：$r(\mathrm{I})\le r(\mathrm{II})\le s$。它管得住的只有被表示方 $\mathrm{I}$，管不住 $\mathrm{II}$（故凡结论谈 $\mathrm{II}$ 相关性的 A、B 都能举反例）。再看向量个数：$r>s$ 时 $\mathrm{I}$ 的向量个数超过其秩上界 $s$，必相关。记住口诀「多的（个数）被少的（秩）表示，多的必相关」。

本题考查「组 $\mathrm{I}$ 可由组 $\mathrm{II}$ 线性表示」时秩的不等关系。 核心结论：若 $\mathrm{I}$ 可由 $\mathrm{II}$ 表示，则 $r(\mathrm{I})\le r(\mathrm{II})$。

方法一（秩的比较）： 因 $\mathrm{I}$ 可由 $\mathrm{II}$ 线性表示，故 $r(\mathrm{I})\le r(\mathrm{II})$；又 $r(\mathrm{II})\le s$（$\mathrm{II}$ 含 $s$ 个向量），于是 $r(\mathrm{I})\le s$。当 $r>s$ 时，$r(\mathrm{I})\le s<r$，即组 $\mathrm{I}$ 的秩小于它所含向量的个数 $r$，故 $\mathrm{I}$ 线性相关。故选 D。

排除 A、B、C（举反例）：
取 $\mathrm{I}:{\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$，$\mathrm{II}:{\mathbf{\beta }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$（$r=1<s=2$），$\mathrm{I}$ 可由 $\mathrm{II}$ 表示，但 $\mathrm{II}$ 线性无关、$\mathrm{I}$ 也线性无关，故 A、C 不成立。
取 $\mathrm{I}:{\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$，$\mathrm{II}:{\mathbf{\beta }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$（$r=2>s=1$），$\mathrm{I}$ 可由 $\mathrm{II}$ 表示，但 $\mathrm{II}$ 线性无关，故 B 不成立。