2003 年考研数学（二） 第 11 题

积分限相同的定积分比大小，先比被积函数；与常数比则要造辅助函数或找恰当上/下界。本题妙在把 $1$ 写成 ${\int }_0^{\pi /4}\frac{4}{\pi }dx$，于是「$I_1<1$」化为「$\frac{\tan x}{x}<\frac{4}{\pi }$」即「$\tan x<\frac{4}{\pi }x$」。后者用凹凸性最省力：$\tan x$ 在 $(0,\frac{\pi }{4})$ 是凹函数，弦 $\frac{4}{\pi }x$ 连接两端点 $(0,0)$、$(\frac{\pi }{4},1)$，凹函数在弦下方，故 $\tan x<\frac{4}{\pi }x$。

本题考查同区间定积分的大小比较（比较被积函数、并与常数 $1$ 比较）。 分两步：先比 $I_1,I_2$ 的大小，再判断 $I_1$ 与 $1$ 的关系。

第一步（$I_1$ 与 $I_2$）： 当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时 $\sin x<x<\tan x$，故 $\frac{\tan x}{x}>1>\frac{x}{\tan x}$。在 $\left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 上被积函数逐点满足 $\frac{\tan x}{x}>\frac{x}{\tan x}$，积分保序得 $I_1>I_2$。

第二步（$I_1$ 与 $1$）： 令 $f(x)=\tan x-\frac{4}{\pi }x$，则 $f(0)=0$，$f\left(\frac{\pi }{4}\right)=1-1=0$。因 $f^{\prime \prime }(x)=2{\sec }^{2}x\tan x>0\left(0<x<\frac{\pi }{4}\right)$，$f$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 内为凹（下凸）函数，端点值均为 $0$，故 $f(x)<0$，即 $\tan x<\frac{4}{\pi }x$，从而 $\frac{\tan x}{x}<\frac{4}{\pi }$。

于是
$$I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\tan x}{x}dx<{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{4}{\pi }dx=\frac{4}{\pi }\cdot \frac{\pi }{4}=1.$$
结合 $I_1>I_2$，得 $1>I_1>I_2$。故应选 B。