2003 年考研数学（二） 第 10 题

给出 $f^{\prime }$ 的图形问 $f$ 的极值，唯一要做的是从左到右数 $f^{\prime }$ 的符号变化：$+\to -$ 记一个极大，$-\to +$ 记一个极小。本题共四次变号（$a,b,0,c$），得两极大两极小。最大陷阱是 $x=0$：图形在此断开、$f^{\prime }$ 不存在，但因 $f$ 连续且左正右负，它照样是极大值点，千万别因为「没有导数」就跳过。

本题考查用导数符号判别极值。 极值点是 $f^{\prime }$ 变号的点：若 $f$ 连续，$f^{\prime }$ 在某点两侧由正变负则该点为极大值点，由负变正则为极小值点（该点处 $f^{\prime }=0$ 或 $f^{\prime }$ 不存在均可）。

由图，$f^{\prime }$ 的变号点有四个：$x=a,x=b,x=0,x=c$（其中 $a<b<0<c$，$x=0$ 处 $f$ 不可导但连续）。逐段读出 $f^{\prime }$ 的符号：
$x<a$ 时 $f^{\prime }>0$；$a<x<b$ 时 $f^{\prime }<0$；$b<x<0$ 时 $f^{\prime }>0$；$0<x<c$ 时 $f^{\prime }<0$；$x>c$ 时 $f^{\prime }>0$。

逐点判别：
- $x=a$：$f^{\prime }$ 由正变负 $\Rightarrow$ 极大值点；
- $x=b$：$f^{\prime }$ 由负变正 $\Rightarrow$ 极小值点；
- $x=0$：$f^{\prime }$ 由正变负（$f$ 连续，$f^{\prime }$ 不存在也算变号点）$\Rightarrow$ 极大值点；
- $x=c$：$f^{\prime }$ 由负变正 $\Rightarrow$ 极小值点。

故 $f(x)$ 有两个极大值点（$x=a,0$）和两个极小值点（$x=b,c$）。故应选 C。