2003 年考研数学（二） 第 9 题

「已知某函数是解、反求方程中的未知项」——直接把解代进去。技巧在于把算出的 $y^{\prime }$ 尽量写成 $\frac{y}{x}$（齐次方程的自然变量）的形式：这里 $\frac{1}{\ln x}$ 恰好就是 $\frac{y}{x}$，于是 $y^{\prime }=\frac{y}{x}-(\frac{y}{x}{)}^2$ 一目了然，$\phi =-(\frac{y}{x}{)}^2=-\frac{y^2}{x^2}$。四个选项就靠正负号与 $\frac{y}{x}$/$\frac{x}{y}$ 谁在分子来区分。

本题考查「把已知解代回方程」定出未知函数。 先求出 $y^{\prime }$，再与 $\frac{y}{x}$ 作差得 $\phi$，并用 $y=\frac{x}{\ln x}$ 把结果写成 $\frac{y}{x}$（或 $\frac{x}{y}$）的函数。

由 $y=\frac{x}{\ln x}$（商的求导）：
$$y^{\prime }=\frac{\ln x-x\cdot \frac{1}{x}}{{\ln }^{2}x}=\frac{\ln x-1}{{\ln }^{2}x}=\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{{\ln }^{2}x}.$$

注意 $\frac{y}{x}=\frac{1}{\ln x}$，故 ${\left(\frac{y}{x}\right)}^2=\frac{1}{{\ln }^{2}x}$，于是
$$y^{\prime }=\frac{y}{x}-{\left(\frac{y}{x}\right)}^2.$$

代入方程 $y^{\prime }=\frac{y}{x}+\phi \left(\frac{x}{y}\right)$，两边对消 $\frac{y}{x}$ 得
$$\phi \left(\frac{x}{y}\right)=-{\left(\frac{y}{x}\right)}^2=-\frac{y^2}{x^2}.$$
故应选 A。