2003 年考研数学（二） 第 8 题

见到 $x^{n-1}$ 与 $x^n$ 同现，立即想到凑微分 $d(x^n)=n{x}^{n-1}dx$，积分瞬间可算。乘 $n$ 恰好抵消前面的 $\frac{1}{n}$，把问题归结为求 ${\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n$ 的极限——这是 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\to e$ 的变体，答案落在 $e^{-1}$。四个选项就靠 $e$ 还是 $e^{-1}$、$+1$ 还是 $-1$ 区分，别记反。

本题考查定积分的凑微分计算与重要极限 ${\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n\to e^{-1}$。 先把积分算出 $n$ 的显式表达式，再求极限。

注意 $x^{n-1}dx=\frac{1}{n}d(x^n)=\frac{1}{n}d(1+x^n)$，故
$$a_n=\frac{3}{2n}{\int }_0^{\frac{n}{n+1}}(1+x^n{)}^{\frac{1}{2}}d(1+x^n)=\frac{3}{2n}\cdot \frac{2}{3}(1+x^n{)}^{\frac{3}{2}}{|}_0^{\frac{n}{n+1}}.$$

即
$$a_n=\frac{1}{n}\left[{\left(1+(\frac{n}{n+1}{)}^n\right)}^{\frac{3}{2}}-1\right],n{a}_n={\left(1+(\frac{n}{n+1}{)}^n\right)}^{\frac{3}{2}}-1.$$

当 $n\to \infty$，${\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n={\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)}^n\to e^{-1}$，故
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n={\left(1+e^{-1}\right)}^{\frac{3}{2}}-1.$$
故应选 B。