2003 年考研数学（二） 第 7 题

这类「必有」选择题，先盯住带『对任意 $n$』和『不存在』的绝对化措辞。极限是关于「尾部」的性质，前有限项翻不了案，故 A、B 这种全称命题一举一反例即倒；C 是 $0\cdot \infty$ 未定式，可以收敛，也一反例即倒。只有 D：非零极限乘无穷大必是无穷大，这是稳的。

本题考查数列极限的概念与「极限只反映充分大的 $n$」这一要点。 凡带「对任意 $n$ 成立」的选项，都不能由极限推出；带「$0\cdot \infty$」型的极限则未必不存在。

举反例排除 A、B、C： 取 $a_n=\frac{3}{n}$，$b_n=1$，$c_n=\frac{n}{3}$。
（A）$n=1,2$ 时 $a_n=3,\frac{3}{2}>1=b_n$，$a_n<b_n$ 不成立；
（B）$n=1,2$ 时 $c_n=\frac{1}{3},\frac{2}{3}<1=b_n$，$b_n<c_n$ 不成立；
（C）$a_n{c}_n=\frac{3}{n}\cdot \frac{n}{3}=1$，$\lim a_n{c}_n=1$ 存在。故 A、B、C 都不必成立。

说明 D 正确： 因 $b_n\to 1$，由极限定义，存在 $N$，当 $n>N$ 时 $\frac{1}{2}<b_n<\frac{3}{2}$；又 $c_n\to \infty$ 即 $|c_n|\to +\infty$。于是当 $n>N$ 时 $\frac{1}{2}|c_n|<|b_n{c}_n|<\frac{3}{2}|c_n|$，故 $|b_n{c}_n|\to +\infty$，即 $\lim b_n{c}_n=\infty$，作为（有限）极限不存在。故应选 D。