2003 年考研数学（二） 第 6 题

矩阵方程求 $|\mathbf{B}|$，先像多项式一样把 $\mathbf{B}$ 提出来：${\mathbf{A}}^2-\mathbf{E}=(\mathbf{A}+\mathbf{E})(\mathbf{A}-\mathbf{E})$ 是关键一步（矩阵也满足平方差，因为 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{E}$ 可交换）。约去可逆的 $\mathbf{A}+\mathbf{E}$ 后剩 $(\mathbf{A}-\mathbf{E})\mathbf{B}=\mathbf{E}$，再用 $|XY|=|X||Y|$ 取行列式即得。切忌直接去解 $\mathbf{B}$ 的每个元素。

本题考查矩阵方程的化简与行列式的乘法性质。 先把 $\mathbf{B}$ 从方程中「因式分解」出来，再取行列式。

由 ${\mathbf{A}}^2\mathbf{B}-\mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{E}$ 得 $({\mathbf{A}}^2-\mathbf{E})\mathbf{B}=\mathbf{A}+\mathbf{E}$，即 $(\mathbf{A}+\mathbf{E})(\mathbf{A}-\mathbf{E})\mathbf{B}=\mathbf{A}+\mathbf{E}$。

而 $\mathbf{A}+\mathbf{E}=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 3& 0\\ -2& 0& 2\end{array}\right)$，$|\mathbf{A}+\mathbf{E}|=18\ne 0$，故 $\mathbf{A}+\mathbf{E}$ 可逆。两端左乘 $(\mathbf{A}+\mathbf{E}{)}^{-1}$ 得 $(\mathbf{A}-\mathbf{E})\mathbf{B}=\mathbf{E}$。

两端取行列式：$|\mathbf{A}-\mathbf{E}|\cdot |\mathbf{B}|=1$。又
$$|\mathbf{A}-\mathbf{E}|=\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 0\end{array}\right|=2,$$
故 $|\mathbf{B}|=\frac{1}{2}$。