2003 年考研数学（二） 第 5 题

记住秩一矩阵 $\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 的迹等于 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=\Vert \mathbf{\alpha }{\Vert }^2$，看到「已知 $\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 求 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }$」立刻取主对角线求和，无需真正解出 $\mathbf{\alpha }$。这个「外积的迹＝内积」的对偶关系是线代小题的高频考点。

本题考查 $\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$（$3\times 3$ 矩阵）与 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }$（$1\times 1$ 数）的关系。 关键恒等式：${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=\mathrm{tr}(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}})$。

方法一（迹）： 设 $\mathbf{\alpha }=(a_1,a_2,a_3{)}^{\mathrm{T}}$，则 $\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 的主对角元为 $a_1^2,a_2^2,a_3^2$，而 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=a_1^2+a_2^2+a_3^2$ 恰是其迹。由给定矩阵主对角线为 $1,1,1$，故
$${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=\mathrm{tr}(\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}})=1+1+1=3.$$

方法二（还原 $\mathbf{\alpha }$）： 由矩阵结构可取 $\mathbf{\alpha }=(1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$（或 $(-1,1,-1{)}^{\mathrm{T}}$），验证 $\mathbf{\alpha }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 正是所给矩阵；于是 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=\Vert \mathbf{\alpha }{\Vert }^2=1^2+(-1{)}^2+1^2=3$。