2003 年考研数学（二） 第 4 题

极坐标「扇形」面积一律套 $A=\frac{1}{2}\int {\rho }^{2}d\theta$，与直角坐标的 $\int ydx$ 是两套体系，别混用。这里 ${\rho }^2=e^{2a\theta }$ 是指数函数，积分后指数变成 $2a\theta$，代上限 $2\pi$ 得 $e^{4\pi a}$，分母 $4a$ 来自 $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2a}$。

本题考查极坐标下平面图形面积的计算。 极坐标曲线 $\rho =\rho (\theta )$ 从 $\theta =\alpha$ 到 $\theta =\beta$ 与极点连线所围面积为 $A=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{\rho }^2(\theta )d\theta$。

代入 $\rho =e^{a\theta }$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$：
$$A=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{\left(e^{a\theta }\right)}^{2}d\theta =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{e}^{2a\theta }d\theta .$$

积分得
$$A=\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{2a\theta }}{2a}{|}_0^{2\pi }=\frac{e^{4\pi a}-1}{4a}.$$