2003 年考研数学（二） 第 3 题

凡是 $a^x$ 型的泰勒/麦克劳林展开，先改写成 $a^x=e^{x\ln a}$，再套 $e^u$ 的现成麦克劳林公式，比反复求导更快。系数 $\frac{(\ln 2{)}^n}{n!}$ 中的 $(\ln 2{)}^n$ 正是每阶求导累积的 $\ln 2$ 因子。

本题考查麦克劳林公式（在 $x=0$ 处的泰勒展开）。 $x^n$ 项系数即 $\frac{y^{(n)}(0)}{n!}$；也可直接借用 $e^u$ 的已知展开。

方法一（求高阶导数）： 由 $y=2^x$ 得 $y^{(n)}(x)=2^x(\ln 2{)}^n$，故 $y^{(n)}(0)=(\ln 2{)}^n$，于是 $x^n$ 项系数为
$$\frac{y^{(n)}(0)}{n!}=\frac{(\ln 2{)}^n}{n!}.$$

方法二（借用 $e^u$ 的麦克劳林公式）： $2^x=e^{x\ln 2}$，而 $e^u=1+u+\frac{u^2}{2!}+\cdots +\frac{u^n}{n!}+o(u^n)$，代入 $u=x\ln 2$：
$$2^x=1+x\ln 2+\frac{(x\ln 2{)}^2}{2!}+\cdots +\frac{(x\ln 2{)}^n}{n!}+o(x^n),$$
故 $x^n$ 项系数为 $\frac{(\ln 2{)}^n}{n!}$。