2003 年考研数学（二） 第 2 题

隐函数求切线的标准流程：两端对 $x$ 求导 $\to$ 代切点定斜率 $\to$ 点斜式写方程。本题不必先解出 $y(x)$（也解不出），直接隐函数求导最省事；代入 $(1,1)$ 后 $\ln x$ 项贡献的 $2/x=2$ 是容易被忽略的一项。

本题考查隐函数求导与切线方程。 对确定式两端关于 $x$ 求导得到 $y^{\prime }$，再代入切点坐标求出切线斜率。

对 $xy+2\ln x=y^4$ 两端关于 $x$ 求导（$y$ 是 $x$ 的函数）：
$$y+x\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}=4y^3\frac{dy}{dx}.$$

代入点 $(1,1)$：$1+\frac{dy}{dx}+2=4\frac{dy}{dx}$，即 $3=3\frac{dy}{dx}$，解得 $\frac{dy}{dx}{|}_{(1,1)}=1$。

故切线方程为 $y-1=1\cdot (x-1)$，即 $y=x$。