2003 年考研数学（二）第 1 题

填空题 · 4 分

若

x \to 0

时，

(1 - a x^{2})^{\frac{1}{4}} - 1

与

x sin x

是等价无穷小，则

a =

___。

提示 1

用二项展开的等价无穷小

(1 + u)^{α} - 1 \sim α u

，把

(1 - a x^{2})^{\frac{1}{4}} - 1

化成

x^{2}

的常数倍。

提示 2

x sin x

的等价无穷小是

x^{2}

（因为

sin x \sim x

）。

提示 3

等价即两个

x^{2}

项的系数相等，注意

u = - a x^{2}

带负号。

答案与详解

答案 $- 4$

思路（为什么这么做）

看到「A 与 B 是等价无穷小、求参数」，就把 A、B 各自展开到最低非零阶（主部），令主部系数相等。本题 A 用

(1 + u)^{1/4} - 1 \sim \frac{1}{4} u

且

u = - a x^{2}

，主部是

- \frac{a}{4} x^{2}

；B 的主部是

x^{2}

。最易错处是漏掉

u

里的负号，把

a = - 4

错算成

4

。

解答

本题考查等价无穷小的概念。 两个无穷小等价

\Leftrightarrow

它们的比的极限为

1

，等价于它们的「主部」（最低非零阶项）完全相同。分别求出两者的主部再令系数相等即可。

利用

(1 + u)^{α} - 1 \sim α u (u \to 0)

，取

u = - a x^{2}

、

α = \frac{1}{4}

，得

(1 - a x^{2})^{\frac{1}{4}} - 1 \sim \frac{1}{4} (- a x^{2}) = - \frac{a}{4} x^{2} .

又

sin x \sim x

，故

x sin x \sim x^{2}

。

两个无穷小等价，要求

x^{2}

前的系数相等：

- \frac{a}{4} = 1 \Rightarrow a = - 4.

2003 年考研数学（二） 第 1 题