2003 年考研数学（二） 第 14 题

参数方程二阶导的通病是「忘记再除一次 $x_t^{\prime }$」：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ 不是把 $\frac{dy}{dx}$ 直接对 $t$ 求导，而要 $\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})÷\frac{dx}{dt}$。本题另一处细节是 $y$ 为变限积分，求 $y_t^{\prime }$ 时上限 $1+2\ln t$ 既要代入被积函数、又要乘上限对 $t$ 的导数 $\frac{2}{t}$，且 $e^{1+2\ln t}=e{t}^2$ 要化简。定 $t=2$ 时用 $t>1$ 舍掉 $t=-2$。

本题考查参数方程求二阶导数，以及变限积分求导。 先定参数值，再用 $\frac{dy}{dx}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{(dy/dx{)}_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$。

定参数： 将 $x=9$ 代入 $x=1+2t^2$ 得 $t^2=4$，因 $t>1$ 取 $t=2$（$t=-2$ 舍去）。

一阶导： 由变限积分求导，$y_t^{\prime }=\frac{e^{1+2\ln t}}{1+2\ln t}\cdot (1+2\ln t{)}_t^{\prime }=\frac{e\cdot t^2}{1+2\ln t}\cdot \frac{2}{t}=\frac{2et}{1+2\ln t}$；又 $x_t^{\prime }=4t$，故
$$\frac{dy}{dx}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}=\frac{2et/(1+2\ln t)}{4t}=\frac{e}{2}\cdot \frac{1}{1+2\ln t}.$$

二阶导： 对 $\frac{dy}{dx}$ 再关于 $t$ 求导再除以 $x_t^{\prime }$：
$${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_t^{\prime }=\frac{e}{2}\cdot \left(-\frac{1}{(1+2\ln t{)}^2}\right)\cdot \frac{2}{t}=-\frac{e}{t(1+2\ln t{)}^2},$$
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{(dy/dx{)}_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}=\frac{-\frac{e}{t(1+2\ln t{)}^2}}{4t}=-\frac{e}{4t^2(1+2\ln t{)}^2}.$$

代入 $t=2$：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=9}=-\frac{e}{4\cdot 4\cdot (1+2\ln 2{)}^2}=-\frac{e}{16(1+2\ln 2{)}^2}.$$