2001 年考研数学（二） 第 16 题

第一问是典型的「几何条件⇒微分方程」：把「切线 $y$ 轴截距 = 到原点距离」翻译成 $y-x{y}^{\prime }=\sqrt{x^2+y^2}$，出现 $y/x$ 的结构就用齐次代换 $u=y/x$。第二问是面积最值：所围面积 = 切线与两轴的三角形面积 − 抛物线与两轴的固定面积（$\frac{1}{12}$ 是常数），于是只需对切点参数 $a$ 求 $S(a)$ 的最小值，导数因式分解后 $3a^2-\frac{1}{4}=0$ 一步定出 $a$。

本题考查用几何条件列一阶微分方程（齐次型）并求解，第二问是定积分面积的最值问题。

（1）点 $P(x,y)$ 处切线为 $Y-y=y^{\prime }(X-x)$，令 $X=0$ 得 $y$ 轴截距 $Y=y-x{y}^{\prime }$。到原点距离为 $\sqrt{x^2+y^2}$，由题意
$$y-x{y}^{\prime }=\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow y^{\prime }=\frac{y}{x}-\sqrt{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}.$$

令 $u=\frac{y}{x}$，则 $u+x\frac{du}{dx}=u-\sqrt{1+u^2}$，分离变量 $\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=-\frac{dx}{x}$。积分得 $\ln \left(u+\sqrt{u^2+1}\right)=\ln \frac{C}{x}$，即 $u+\sqrt{u^2+1}=\frac{C}{x}$。有理化得 $\sqrt{u^2+1}-u=\frac{x}{C}$，两式相减 $2u=\frac{C}{x}-\frac{x}{C}$，即 $y=xu=\frac{1}{2}\left(C-\frac{x^2}{C}\right)$。

代入点 $\left(\frac{1}{2},0\right)$：$0=\frac{1}{2}\left(C-\frac{1/4}{C}\right)$，得 $C^2=\frac{1}{4}$，取 $C=\frac{1}{2}$，故 $L:y=\frac{1}{4}-x^2$。

（2）$L$ 在第一象限与两坐标轴围成的面积 ${\int }_0^{1/2}\left(\frac{1}{4}-x^2\right)dx=\frac{1}{12}$。设切点 $P\left(a,\frac{1}{4}-a^2\right)$，切线 $y-\left(\frac{1}{4}-a^2\right)=-2a(x-a)$。令 $y=0$ 得 $x=\frac{1}{8a}+\frac{a}{2}$；令 $x=0$ 得 $y=\frac{1}{4}+a^2$。

切线与两坐标轴围成的三角形面积减去 $L$ 下方面积，得所围图形面积
$$S(a)=\frac{{\left(\frac{1}{4}+a^2\right)}^2}{4a}-\frac{1}{12}.$$
令 $S^{\prime }(a)=\frac{\left(\frac{1}{4}+a^2\right)}{4a^2}\left(3a^2-\frac{1}{4}\right)=0$，得 $a=\frac{1}{2\sqrt{3}}$。

此时切点纵坐标 $\frac{1}{4}-a^2=\frac{1}{6}$，斜率 $-2a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，切线方程 $y-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\left(x-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$，整理得 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{1}{3}$。