2001 年考研数学（二） 第 15 题

两个一阶方程联立，标准做法是「再求一次导消元」，把 $f,g$ 的耦合系统化成单个二阶常系数方程 $g^{\prime \prime }+g=2e^x$。最后那个积分不要硬算：分母出现 $1+x$ 与 $(1+x{)}^2$、分子是 $g=f^{\prime }$ 与 $f$，正是商的求导公式 ${\left(\frac{f}{1+x}\right)}^{\prime }$ 的形状——认出全导数，积分立刻退化为端点相减。

本题考查常系数非齐次线性微分方程的求解，以及「凑全导数」计算定积分。

由 $g^{\prime }(x)=2e^x-f(x)$ 再求导，并用 $f^{\prime }=g$：$g^{\prime \prime }(x)=2e^x-f^{\prime }(x)=2e^x-g(x)$，即 $g^{\prime \prime }+g=2e^x$。

通解 $g(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+e^x$（特解设 $A{e}^x$ 代入得 $A=1$）。由 $g(0)=2$ 得 $C_1+1=2$，$C_1=1$；由 $g^{\prime }(0)=2e^0-f(0)=2$ 得 $C_2+1=2$，$C_2=1$。故 $g(x)=\cos x+\sin x+e^x$，从而 $f(x)=\int g=\sin x-\cos x+e^x$（满足 $f(0)=0$）。

注意到被积函数恰是一个全导数：
$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{1+x}\right]=\frac{f^{\prime }(x)(1+x)-f(x)}{(1+x{)}^2}=\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x{)}^2}.$$

于是
$${\int }_0^{\pi }\left[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x{)}^2}\right]dx=\frac{f(x)}{1+x}{|}_0^{\pi }=\frac{f(\pi )}{1+\pi }-f(0)=\frac{\sin \pi -\cos \pi +e^{\pi }}{1+\pi }=\frac{e^{\pi }+1}{\pi +1}.$$