2001 年考研数学（二） 第 14 题

题目把未知 $f$ 藏在变限积分的上限里，破解口是「两端求导」：链式法则给出 $g[f(x)]f^{\prime }(x)$，而反函数的核心恒等式 $g(f(x))=x$ 恰好把陌生的 $g$ 消掉，问题立刻降为一阶可积方程 $f^{\prime }(x)=(x+2)e^x$。注意 $\int (x+2)e^{x}dx=(x+1)e^x$（多项式乘 $e^x$ 的积分仍是同类式），最后别忘用初值定 $C$。

本题考查变限积分求导、反函数关系与不定积分（分部积分）。

对 ${\int }_0^{f(x)}g(t)dt=x^2{e}^x$ 两端关于 $x$ 求导，左端由变限积分求导法则得 $g[f(x)]\cdot f^{\prime }(x)$：
$$g[f(x)]f^{\prime }(x)=(x^2+2x)e^x.$$

因 $g$ 是 $f$ 的反函数，$g[f(x)]=x$，故 $x{f}^{\prime }(x)=x(x+2)e^x$，从而 $f^{\prime }(x)=(x+2)e^x$。

积分（分部）：$f(x)=\int (x+2)e^{x}dx=(x+2)e^x-\int e^{x}dx=(x+1)e^x+C.$

由 $f(0)=0$ 得 $(0+1)\cdot 1+C=0$，即 $C=-1$。故 $f(x)=(x+1)e^x-1$。