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2001 年考研数学（二） 第 13 题
解答题 · 7 分
设 是抛物线 上任一点 处的曲率半径， 是该抛物线上介于点 与 之间的弧长，计算 的值。（在直角坐标系下曲率公式为 。）
提示 1
先由 算 ，代曲率公式得 。提示 2
弧长满足 ，是把对 的导数转成对 的导数的桥梁。提示 3
用 依次求出 、，再代入化简。答案与详解
答案
思路（为什么这么做）
变量是弧长 ，但 、 都以 为自变量，于是核心技巧就是链式法则 ，把所有对 的导数都换算成对 的导数。算到最后， 的幂次相消、 抵消，得到与 无关的常数 ——结果是常数正是这类题的特征，也可作为验算信号。
解答
本题考查曲率半径、弧长以及借助中间变量 求关于弧长 的导数（链式法则）。
由 得 ，。曲率半径
弧长 ，故 。
用 。因 ，得
再对 求导：
代入所求表达式：
即所求值恒为 。
由 得 ，。曲率半径
弧长 ，故 。
用 。因 ，得
再对 求导：
代入所求表达式：
即所求值恒为 。