2001 年考研数学（二） 第 12 题

$1^{\infty }$ 型的通用手法是「$(1+u{)}^{1/u}\to e$」：把底数减 $1$ 得到无穷小 $u=\frac{\sin t-\sin x}{\sin x}$，再把原指数配成 $\frac{1}{u}\cdot (\text{极限})$，指数部分的极限就是最终 $e$ 的幂。得到 $f(x)=e^{x/\sin x}$ 后，分类间断点的关键在 $x=0$ 与 $x=k\pi$ 的区别：前者 $\frac{x}{\sin x}\to 1$ 极限有限（可去），后者分子不为零、$\frac{x}{\sin x}$ 发散到无穷（第二类）。

本题考查 $1^{\infty }$ 型极限（第二重要极限）与间断点的分类。

当 $t\to x$，底数 $\frac{\sin t}{\sin x}\to 1$，指数 $\to \infty$，是 $1^{\infty }$ 型。凑成第二重要极限：
$${\left(\frac{\sin t}{\sin x}\right)}^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}={\left[{\left(1+\frac{\sin t-\sin x}{\sin x}\right)}^{\frac{\sin x}{\sin t-\sin x}}\right]}^{\frac{x}{\sin x}}\stackrel{t\to x}{\to }{e}^{\frac{x}{\sin x}}.$$
故 $f(x)=e^{\frac{x}{\sin x}}$。

$f(x)$ 的间断点是使 $\sin x=0$ 的点，即 $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$。

在 $x=0$：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x}=1$，故 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=e^1=e$ 存在（有限），$x=0$ 为可去间断点。

在 $x=k\pi (k\ne 0)$：以 $x=\pi$ 为例，$x\to {\pi }^{-}$ 时 $\sin x\to 0^{+}$、$\frac{x}{\sin x}\to +\infty$，$f({\pi }^{-})=+\infty$；$x\to {\pi }^{+}$ 时 $\sin x\to 0^{-}$、$\frac{x}{\sin x}\to -\infty$，$f({\pi }^{+})=0$。左极限为无穷，故 $x=\pi$ 为第二类间断点。同理 $x=k\pi (k\ne 0)$ 都是第二类间断点。