2001 年考研数学（二） 第 11 题

见到 $\sqrt{x^2+1}$ 就想到 $x=\tan t$。代换后关键一步是把 $2{\tan }^{2}t+1$ 通过 $\times {\cos }^{2}t$ 化成 $2{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1+{\sin }^{2}t$，于是整个式子变成 $\frac{\cos tdt}{1+{\sin }^{2}t}=\frac{d(\sin t)}{1+{\sin }^{2}t}$，正好是 $\arctan$ 的模型。这类「化到只剩 $\sin t$ 的凑微分」是三角代换里最常用的收尾。

本题考查含 $\sqrt{x^2+1}$ 的不定积分，用三角代换 $x=\tan t$。

令 $x=\tan t$，则 $dx={\sec }^{2}tdt$，$\sqrt{x^2+1}=\sec t$，$2x^2+1=2{\tan }^{2}t+1$，于是
$$\int \frac{dx}{(2x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\int \frac{{\sec }^{2}t}{(2{\tan }^{2}t+1)\sec t}dt=\int \frac{\sec t}{2{\tan }^{2}t+1}dt.$$

把被积函数化为含 $\sin t$ 的形式：分子分母同乘 $\cos t$，注意 $2{\tan }^{2}t+1=\frac{2{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}{{\cos }^{2}t}$，得
$$\int \frac{\cos t}{2{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}dt=\int \frac{\cos t}{1+{\sin }^{2}t}dt=\int \frac{d(\sin t)}{1+{\sin }^{2}t}=\arctan (\sin t)+C.$$

回代：$\sin t=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$，故
$$\int \frac{dx}{(2x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\arctan \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C.$$