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2001 年考研数学（二）第 10 题

选择题 · 3 分

已知函数

y = f (x)

在其定义域内可导，其图形如下图所示，则其导函数

y = f^{'} (x)

的图形为（　　）

A $x < 0$ 时图形有一段位于 $x$ 轴下方（左端为负），过负半轴某点后升到轴上方； $x > 0$ 时自轴下方升起，形成一个位于 $x$ 轴上方的波峰后再上升。
B $x < 0$ 时图形全在 $x$ 轴上方； $x > 0$ 时自轴下方升起、越过 $x$ 轴形成一个位于轴上方的波峰后再上升（右侧不构成两个变号零点）。
C $x < 0$ 时图形有一段位于 $x$ 轴下方； $x > 0$ 时下降穿过 $x$ 轴、在轴下方形成一个波谷后再上升穿回 $x$ 轴。
D $x < 0$ 时图形全在 $x$ 轴上方； $x > 0$ 时下降穿过 $x$ 轴、在轴下方形成一个波谷、再上升穿回 $x$ 轴（右侧与 $x$ 轴恰有两个零点）。

提示 1

先用「

f

增

\Leftrightarrow f^{'} > 0

」：

x < 0

时

f

递增，

f^{'}

图形应在

x

轴上方，据此排除两个选项。

提示 2

再数零点：

f

在右侧有三个零点，用罗尔定理推出

f^{'}

在右侧至少有两个零点。

提示 3

把两个条件同时满足的图形挑出来即可。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

「由

f

图选

f^{'}

图」有两把标尺：一是符号——

f

上升处

f^{'} > 0

、下降处

f^{'} < 0

，先用它筛掉左半支落到轴下方的选项；二是零点个数——

f

的每两个相邻零点间由罗尔定理夹出

f^{'}

的一个零点，

f

右侧三个零点⇒

f^{'}

右侧两个零点，用它排掉零点数不对的选项。两条一夹，答案唯一。

解答

本题考查由 $f (x)$ 的图形判断 $f^{'} (x)$ 的图形，核心是「导数的符号↔函数的增减」以及罗尔定理数零点。

第一步（看符号）：在

y

轴左侧

f (x)

严格单调增加，故当

x < 0

时

f^{'} (x) > 0

，即

y = f^{'} (x)

的图形必全在

x

轴上方。选项 (A)、(C) 在

x < 0

处有图形落到

x

轴下方，均排除。

第二步（数零点）：

f (x)

在

y

轴右侧与

x

轴有三个交点（三个零点），由罗尔中值定理，相邻两零点之间

f^{'}

至少有一个零点，故

f^{'} (x)

在

y

轴右侧至少有两个零点（图形两次穿过

x

轴）。选项 (B) 右侧只是一个位于轴上方的波峰，不满足，排除。

综上只有 (D) 同时满足「

x < 0

时图形在

x

轴上方」和「

x > 0

时有两个零点」，应选 D。

考点：导数与微分的概念、函数的单调性与极值

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