2001 年考研数学（二） 第 9 题

比较 $f(x)$ 与 $x$，先用拉格朗日把差 $f(x)-f(1)$ 化为 $f^{\prime }(\xi )(x-1)$，再用「$f^{\prime }$ 严格减」定出 $f^{\prime }(\xi )$ 与 $1$ 的大小。左右两侧 $\xi$ 相对 $1$ 的位置与 $(x-1)$ 的符号同时反号，两个负号「相消」使结论一致，都是 $f(x)<x$。更快的看法：$f^{\prime }$ 减说明曲线上凸，切线恰是 $y=x$，凹函数总在切线下方。

本题考查拉格朗日中值定理与单调性的配合运用。

由拉格朗日中值定理，$f(x)-f(1)=f^{\prime }(\xi )(x-1)$，其中 $\xi$ 介于 $1$ 与 $x$ 之间。

当 $x\in (1-\delta ,1)$：$x<\xi <1$，$f^{\prime }$ 严格减故 $f^{\prime }(\xi )>f^{\prime }(1)=1$；又 $x-1<0$，故 $f^{\prime }(\xi )(x-1)<1\cdot (x-1)$，即 $f(x)-1<x-1$，得 $f(x)<x$。

当 $x\in (1,1+\delta )$：$1<\xi <x$，$f^{\prime }(\xi )<f^{\prime }(1)=1$；又 $x-1>0$，故 $f^{\prime }(\xi )(x-1)<x-1$，同样得 $f(x)<x$。两侧都有 $f(x)<x$，应选 A。

几何解释：$f^{\prime }$ 严格减即 $f^{\prime \prime }<0$，$f$ 是凹（上凸）函数；在 $(1,1)$ 处切线为 $y=1+1\cdot (x-1)=x$，凹函数位于切线下方，故两侧都有 $f(x)<x$。