2001 年考研数学（二） 第 8 题

求拐点个数等价于求 $y^{\prime \prime }=0$ 的变号根个数。本题 $y^{\prime \prime }$ 是二次三项式，用判别式判断最快：$\Delta =12>0$ 给出两个单根，而二次函数在单根处一定变号，因此恰好 $2$ 个拐点，不必真去解根或作图。

本题考查拐点的判定：$y^{\prime \prime }=0$ 且两侧变号处为拐点。

用莱布尼茨公式对 $(x-1{)}^2\cdot (x-3{)}^2$ 求二阶导：
$$y^{\prime \prime }=2(x-3{)}^2+2\cdot 2(x-1)\cdot 2(x-3)+2(x-1{)}^2=4\left(3x^2-12x+11\right).$$

令 $y^{\prime \prime }=0$，即 $3x^2-12x+11=0$，判别式 $\Delta =144-132=12>0$，有两个不同实根 $x=\frac{6\mp \sqrt{3}}{3}$。

$y^{\prime \prime }$ 是开口向上的二次式，在两个单根两侧依次取正、负、正，各变号一次，故曲线有 $2$ 个拐点。应选 C。