2001 年考研数学（二） 第 7 题

比较无穷小的阶，先把每个都化成 $x^k$ 形式读出「阶」$k$。「高阶无穷小」意味着趋于零更快、方次更大，两个「高阶」条件正好把 $n+1$ 夹在 $2$ 与 $4$ 之间，正整数只能取 $n=2$。

本题考查无穷小阶的比较，用等价无穷小定出各自的阶。

当 $x\to 0$：$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$，$\ln (1+x^2)\sim x^2$，故 $(1-\cos x)\ln (1+x^2)\sim \frac{1}{2}{x}^4$，是 $4$ 阶；$\sin x^n\sim x^n$，故 $x\sin x^n\sim x^{n+1}$，是 $n+1$ 阶；$e^{x^2}-1\sim x^2$，是 $2$ 阶。

「$A$ 是比 $B$ 高阶的无穷小」表示 $A$ 的阶更高（方次更大）。由两个条件得 $4>n+1$ 且 $n+1>2$，即 $2<n+1<4$，故正整数 $n=2$。应选 B。