2001 年考研数学（二） 第 17 题

实际问题先设变量、列方程。这里的巧妙之处是：体积变化率 $\frac{dV}{dt}=2\pi r^2\frac{dr}{dt}$ 与 $S=2\pi r^2$ 中的 $r^2$ 恰好相约，方程立刻塌缩成 $\frac{dr}{dt}=-K$，说明「半径匀速缩短」。再抓住体积 $\propto r^3$，把「融化 $\frac{7}{8}$」译成 $r$ 减半，一切迎刃而解。

本题考查微分方程的实际应用（建立并求解一阶方程）。

设 $t$ 时刻雪堆半径为 $r(t)$，$r(0)=r_0$。半球体积 $V=\frac{2}{3}\pi r^3$，半球面（曲面）面积 $S=2\pi r^2$。由 $\frac{dV}{dt}=2\pi r^2\frac{dr}{dt}$。

由题意 $\frac{dV}{dt}=-KS=-2K\pi r^2$，代入上式得 $2\pi r^2\frac{dr}{dt}=-2K\pi r^2$，即 $\frac{dr}{dt}=-K$。故 $r(t)=-Kt+r_0$。

「$3$ 小时融化体积的 $\frac{7}{8}$」即剩余体积为原来的 $\frac{1}{8}$，而体积正比于 $r^3$，故 $r(3{)}^3=\frac{1}{8}{r}_0^3$，$r(3)=\frac{r_0}{2}$。代入 $-3K+r_0=\frac{r_0}{2}$，解得 $K=\frac{r_0}{6}$。

于是 $r(t)=r_0-\frac{r_0}{6}t$。令 $r(t)=0$ 得 $t=6$。故雪堆全部融化需要 $6$ 小时。