2001 年考研数学（二） 第 18 题

要证「存在一点使某导数值 = 积分」，把被积函数用泰勒公式展开是标准起手：在 $0$ 处展开后 $f^{\prime }(0)x$ 是奇函数、积分为零，只剩含 $f^{\prime \prime }(\xi )$ 的项。接着不要纠缠于 $\xi$ 随 $x$ 变化，而是用 $f^{\prime \prime }$ 连续⇒有最大最小值⇒夹逼出 $\frac{3}{a^3}\int f$ 落在 $[m,M]$ 内，最后由介值定理「取到中间值」得到所需的 $\eta$。这是「泰勒 + 夹逼 + 介值」的经典组合。

本题考查带拉格朗日余项的泰勒（麦克劳林）公式，以及用介值定理完成积分中值型证明。

（1）因 $f(0)=0$，$f(x)$ 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式为
$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2!}{x}^2=f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}{x}^2,$$
其中 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间。

（2）将上式两端在 $[-a,a]$ 上积分。$f^{\prime }(0)x$ 是奇函数，积分为 $0$，故
$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\frac{1}{2}{\int }_{-a}^a{f}^{\prime \prime }(\xi )x^{2}dx.$$

因 $f^{\prime \prime }$ 在 $[-a,a]$ 上连续，设其最小值、最大值为 $m,M$。由 $\frac{1}{2}m{x}^2\le \frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(\xi )x^2\le \frac{1}{2}M{x}^2$ 在 $[-a,a]$ 上积分（注意 ${\int }_{-a}^a{x}^{2}dx=\frac{2a^3}{3}$）得
$$\frac{m}{3}{a}^3\le {\int }_{-a}^{a}f(x)dx\le \frac{M}{3}{a}^3,\text{即}m\le \frac{3}{a^3}{\int }_{-a}^{a}f(x)dx\le M.$$

由介值定理，$f^{\prime \prime }$ 在 $[-a,a]$ 上可取到介于 $m,M$ 之间的每个值，故存在 $\eta \in [-a,a]$ 使 $f^{\prime \prime }(\eta )=\frac{3}{a^3}{\int }_{-a}^{a}f(x)dx$，即 $a^3{f}^{\prime \prime }(\eta )=3{\int }_{-a}^{a}f(x)dx$。证毕。