2001 年考研数学（二） 第 19 题

矩阵方程带着 $AXA,BXB,AXB,BXA$ 四项，先移项再「因式分解」是核心——就像数字里的 $a^2-ab-ba+b^2$，这里因 $X$ 在中间要小心左右因子，结果是 $(A-B)X(A-B)=E$。于是 $X$ 就是 $(A-B{)}^2$ 的逆。$A-B$ 恰为上三角矩阵，平方与求逆都很轻松，这也是命题者精心安排的「可算性」。

本题考查矩阵方程的化简与求逆。 关键是把左右两端配成因式相乘的形式。

由 $AXA+BXB=AXB+BXA+E$ 移项：$AXA-AXB-BXA+BXB=E$，左端提公因式
$$AX(A-B)-BX(A-B)=(A-B)X(A-B)=E.$$

故 $X=\left[(A-B{)}^{-1}\right]E\left[(A-B{)}^{-1}\right]={\left[(A-B{)}^2\right]}^{-1}$。其中
$$A-B=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),(A-B{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

对 $(A-B{)}^2$ 求逆（上三角，用初等行变换 $[(A-B{)}^2\mid E]\to [E\mid X]$）：
$$X={\left[(A-B{)}^2\right]}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$