2001 年考研数学（二） 第 20 题

「$\beta$ 是否也是基础解系」看似复杂，实则只需一条：线性无关（因为它们本来就是解、个数也够）。把线性组合写成 $\beta =\alpha C$，无关性就转化为过渡矩阵 $C$ 的行列式是否为零——这是「用行列式判无关」的标准套路。$\det C=1-t^4$ 这种循环结构按第一行展开即可，实数范围内 $t\ne \pm 1$ 便是答案。

本题考查基础解系的本质：解空间的一组线性无关的解（个数等于 $n-r(A)$）。

${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4$ 都是 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_4$ 的线性组合，故仍是 $Ax=0$ 的解，且个数也是 $4$。因此它们成为基础解系的充分必要条件是 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4$ 线性无关。

写成矩阵形式 $({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)C$，其中
$$C=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t\\ t& 1& 0& 0\\ 0& t& 1& 0\\ 0& 0& t& 1\end{array}\right).$$

因 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_4$ 线性无关，${\beta }_1,\dots ,{\beta }_4$ 线性无关 $\iff$ $\det C\ne 0$。按第一行展开
$$\det C=\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t\\ t& 1& 0& 0\\ 0& t& 1& 0\\ 0& 0& t& 1\end{array}\right|=1-t^4.$$

故当 $1-t^4\ne 0$，即 $t\ne \pm 1$（$t$ 为实数）时，${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4$ 也是 $Ax=0$ 的一个基础解系。