2026 年考研数学（一） 第 9 题

关键是把 $Y$ 的分布函数 $F(ay+b)=P(X\le ay+b)$ 反解成 $P\left(\frac{X-b}{a}\le y\right)$，从而认出 $Y$ 与 $\frac{X-b}{a}$ 同分布——这是“标准化”的形式。于是用期望、方差的线性性质列 $\frac{\mu -b}{a}=0$、$\frac{{\sigma }^2}{a^2}=1$ 两式即可。易错点是把标准化误当反标准化而取 $a=\frac{1}{\sigma }$。

本题考查分布函数、随机变量线性变换的期望与方差。 由 $Y$ 的分布函数 $P(Y\le y)=F(ay+b)=P(X\le ay+b)=P\left(\frac{X-b}{a}\le y\right)$（这里 $a>0$），可见 $Y$ 与 $\frac{X-b}{a}$ 同分布。

于是 $E(Y)=E\left(\frac{X-b}{a}\right)=\frac{\mu -b}{a}=0\Rightarrow b=\mu$；又 $D(Y)=\frac{1}{a^2}D(X)=\frac{{\sigma }^2}{a^2}=1\Rightarrow a=\sigma$。

故 $a=\sigma ,b=\mu$，应选 A。（此即把 $X$ 标准化为均值 $0$、方差 $1$。）