2026 年考研数学（一） 第 10 题

通项是两个几何型的叠加，纯几何分布的无记忆性（等号）在此被破坏，所以先预判是严格不等号。用极限 $n\to \infty$ 让条件概率趋于 $0$，可迅速排除等号型与“$>P\{X>m\}$”型；剩下的比较把条件概率写成尾概率之比，算出尾和后作差因式分解定号，正负一眼可辨。

本题考查离散型分布的尾概率与条件概率比较。 先排除 A、C：固定 $m$，令 $n\to \infty$，则 $P\{X>m+n\mid X>m\}\to 0$，而 $P\{X>m\}$ 为正的定值，故 A、C 不成立。

下证 D，即 $P\{X>m+n\mid X>m\}>P\{X>n\}$。由条件概率 $P\{X>m+n\mid X>m\}=\frac{P\{X>m+n\}}{P\{X>m\}}$，故等价于 $P\{X>m+n\}>P\{X>m\}P\{X>n\}$。

记 $p_k=\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{3^k}$，则尾概率 $P\{X>j\}=\sum _{k>j}{p}_k=\frac{1}{2^{j+1}}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3^j}$。代入化简，不等式最终等价于
$$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n}\right)\left(\frac{1}{2^m}-\frac{1}{3^m}\right)>0,$$

由于 $\frac{1}{2^m}>\frac{1}{3^m}$、$\frac{1}{2^n}>\frac{1}{3^n}$，两因子均为正，不等式显然成立。故应选 D。