2026 年考研数学（一） 第 11 题

这是“先算叉积、再算散度”的两步计算题，没有技巧，关键是别把叉积的分量或散度对应的变量弄错。用行列式展开叉积能稳妥地得到三个分量，再严格按 $x,y,z$ 依次对第一、二、三分量求偏导求和即可。

本题考查向量积与散度的计算。 先算向量积
$$\mathbf{F}={\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 0& x& z\\ y& 0& 1\end{array}\right|=(x\cdot 1-z\cdot 0,-(0\cdot 1-z\cdot y),0\cdot 0-x\cdot y)=(x,yz,-xy).$$

于是 $\mathrm{div}\mathbf{F}=\frac{\partial }{\partial x}(x)+\frac{\partial }{\partial y}(yz)+\frac{\partial }{\partial z}(-xy)=1+z+0=1+z$。