2026 年考研数学（一） 第 12 题

两项相减是 $\infty -\infty$，先通分变成 $\frac{0}{0}$ 型。识别要点是分母 $x\sin x$ 为二阶无穷小，因此分子必须展开到 $x^2$ 才够精度——这正是“用泰勒定阶”的典型。把 $\sin x$、$\ln (1+x)$ 展到二阶相减，看 $x^2$ 的系数即可，避免反复用洛必达。

本题考查用泰勒展开求 $\frac{0}{0}$ 型极限。 先通分
$$\frac{1}{x}-\frac{\ln (1+x)}{x\sin x}=\frac{\sin x-\ln (1+x)}{x\sin x}.$$

利用 $\sin x=x+o(x^2)$，$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，$x\sin x=x^2+o(x^2)$，得
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(x+o(x^2))-(x-\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2))}{x^2+o(x^2)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2)}{x^2+o(x^2)}=\frac{1}{2}.$$