2026 年考研数学（一） 第 13 题

参数方程二阶导的易错点是误以为“再对 $t$ 求一次导”就行；正确做法是把一阶导 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$（$t$ 的函数）再对 $t$ 求导后除以 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$，即多除一个 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$。由于只要 $t=\frac{\pi }{4}$ 处的值，求导表达式列出后直接代点最省力。

本题考查参数方程的二阶导数。 由 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=4\sin t\cos t=2\sin 2t$，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=1-\sin t$，得
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{1-\sin t}{2\sin 2t}.$$

再对 $t$ 求导并除以 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$：
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1-\sin t}{2\sin 2t}\right)}{2\sin 2t}=\frac{-\cos t\sin 2t-2\cos 2t(1-\sin t)}{4{\sin }^{3}2t}.$$

代入 $t=\frac{\pi }{4}$（$\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin \frac{\pi }{2}=1$，$\cos \frac{\pi }{2}=0$）：分子 $=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 1-0=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，分母 $=4$，故 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{t=\frac{\pi }{4}}=-\frac{\sqrt{2}}{8}$。