2026 年考研数学（一） 第 14 题

被积是“对数 $\times$ 幂”的组合，而 $\frac{1}{x^2}$ 恰是 $-\frac{1}{x}$ 的导数，天然适合分部积分，把难处理的 $\ln (x+1)$ 求导化成有理式。剩下的 $\frac{1}{x(x+1)}$ 用部分分式拆开。作为反常积分，务必检查上限 $x\to \infty$ 处边界项的极限，避免漏项。

本题考查分部积分与反常积分。 取 $\mathrm{d}\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$，分部积分
$${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln (x+1)}{x^2}\mathrm{d}x=-\frac{\ln (x+1)}{x}{|}_1^{+\infty }+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x(x+1)}\mathrm{d}x.$$

边界项：$x\to +\infty$ 时 $\frac{\ln (x+1)}{x}\to 0$，$x=1$ 时为 $\ln 2$，故 $-\frac{\ln (x+1)}{x}{|}_1^{+\infty }=\ln 2$。又 $\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，
$${\int }_1^{+\infty }\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\mathrm{d}x=\ln \frac{x}{x+1}{|}_1^{+\infty }=0-\ln \frac{1}{2}=\ln 2.$$

于是原积分 $=\ln 2+\ln 2=2\ln 2$。