2026 年考研数学（一） 第 15 题

$m(\mathbf{X})$ 是最大实特征值，所以第一步必须把两矩阵的特征值都求出来——好在两个特征多项式都能直接因式分解。把 $m(\mathbf{A})=\max \{1,a+2\}$、$m(\mathbf{B})=\max \{2,a+1\}$ 写成分段函数后，题目化为一个含参 $\max$ 不等式，按 $a$ 的区间讨论即可，避免盲目计算。

本题考查特征值的计算与最大值比较。 直接展开特征多项式：
$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=(\lambda -1)[(\lambda -a{)}^2-4]=(\lambda -1)(\lambda -a-2)(\lambda -a+2),|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{B}|=(\lambda -a-1)(\lambda -2)(\lambda -a+1).$$

故 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $1,a+2,a-2$，其中 $a-2<a+2$ 恒成立，最大值只可能在 $1$ 与 $a+2$ 之间产生，$m(\mathbf{A})=\max \{1,a+2\}$；$\mathbf{B}$ 的特征值为 $2,a+1,a-1$，同理 $m(\mathbf{B})=\max \{2,a+1\}$。要使 $m(\mathbf{A})<m(\mathbf{B})$，即 $\max \{1,a+2\}<\max \{2,a+1\}$。

分类讨论：当 $a<-1$ 时左边 $=1<2=$ 右边，成立；当 $-1\le a<1$ 时左边 $=a+2$、右边 $=2$，需 $a+2<2$，即 $a<0$，得 $-1\le a<0$；当 $a\ge 1$ 时左边 $=a+2$、右边 $=a+1$，$a+2<a+1$ 不可能。综上 $a$ 的取值范围为 $(-\infty ,0)$。