2026 年考研数学（一） 第 16 题

求 $E(XY)$ 自然想到 $E(XY)=\mathrm{Cov}(X,Y)+E(X)E(Y)$，于是问题归结为求协方差。题目给的独立条件应转成协方差语言：$X$ 与 $Y-X$ 独立给出 $\mathrm{Cov}(X,Y-X)=0$，用双线性展开即得 $\mathrm{Cov}(X,Y)=D(X)$。再借泊松分布期望等于方差等于参数这一特性代入。

本题考查协方差与独立性、泊松分布的期望方差。 由 $X\sim P(1)$ 知 $E(X)=D(X)=1$；由 $Y\sim P(3)$ 知 $E(Y)=3$。

因 $X$ 与 $Y-X$ 相互独立，故 $\mathrm{Cov}(X,Y-X)=0$。而
$$\mathrm{Cov}(X,Y-X)=\mathrm{Cov}(X,Y)-D(X)=[E(XY)-E(X)E(Y)]-D(X)=E(XY)-1\times 3-1.$$

令其为 $0$，得 $E(XY)-4=0$，即 $E(XY)=4$。