2026 年考研数学（一） 第 17 题

这是无条件极值的模板题：一阶偏导为零求驻点，二阶偏导用 $AC-B^2$ 判别。识别要点是 $f_y=-2y{\mathrm{e}}^x$ 结构最简单，先解得 $y=0$ 再回代 $f_x=0$；由于因子 ${\mathrm{e}}^x$ 恒正可整体约去，方程化为纯多项式，驻点一目了然。

分析：先由一阶偏导为零求驻点，再用二阶偏导（Hesse 判别）判断极值。

求一阶偏导并令其为零：
$$f_x=\left(2x^2-y^2+4x\right){\mathrm{e}}^x=0,f_y=-2y{\mathrm{e}}^x=0.$$
由 $f_y=0$ 得 $y=0$，代入 $f_x=0$ 得 $2x^2+4x=0$，即 $x=0$ 或 $x=-2$。故驻点为 $(0,0)$ 与 $(-2,0)$。

二阶偏导为 $f_{xx}=\left(2x^2-y^2+8x+4\right){\mathrm{e}}^x,f_{xy}=-2y{\mathrm{e}}^x,f_{yy}=-2{\mathrm{e}}^x$。

在 $(0,0)$ 处：$A=f_{xx}=4,B=f_{xy}=0,C=f_{yy}=-2$，$AC-B^2=-8<0$，故 $(0,0)$ 不是极值点。

在 $(-2,0)$ 处：$A=f_{xx}=-4{\mathrm{e}}^{-2}<0,B=0,C=-2{\mathrm{e}}^{-2}$，$AC-B^2=8{\mathrm{e}}^{-4}>0$，且 $A<0$，故取极大值。$f(-2,0)=\left(2\cdot 4-0\right){\mathrm{e}}^{-2}=8{\mathrm{e}}^{-2}$。

综上，$f(x,y)$ 有唯一极大值 $f(-2,0)=8{\mathrm{e}}^{-2}$，无极小值。