2026 年考研数学（一） 第 8 题

$f(t)=E[(X+t{)}^2]$ 展开后是关于 $t$ 的开口向上二次函数 $t^2+2E(X)t+E(X^2)$，求最值只需配方。识别要点是用 $E(X^2)=D(X)+[E(X){]}^2$ 把二阶矩换成已知的均值与方差；最小值点 $t=-E(X)$、最小值恰为 $D(X)$，这正是方差作为“到均值的最小均方距离”的含义。注意国内记号 $N(1,2)$ 的 $2$ 是方差。

本题考查数学期望、方差的性质与二次函数求最值。 由 $X\sim N(1,2)$ 知 $E(X)=1$，$D(X)=2$，从而 $E\left(X^2\right)=D(X)+[E(X){]}^2=2+1=3$。

展开 $f(t)=E\left[(X+t{)}^2\right]=E\left(X^2\right)+2tE(X)+t^2=t^2+2t+3=(t+1{)}^2+2$，这是关于 $t$ 的开口向上的二次函数。

当 $t=-E(X)=-1$ 时取最小值，最小值为 $E\left[(X-1{)}^2\right]=D(X)=2$。故最小值点为 $-1$、最小值为 $2$，应选 C。