2026 年考研数学（一） 第 7 题

$f=-1$ 表示圆柱面，其在标准形中的特征是“恰缺一个平方项，另两项系数相等且同号”——缺项方向平移不变、另两项相等给出圆截面。于是把问题转化为特征值条件：求出矩阵特征值 $a+4$（单）与 $a-2$（二重），令单特征值 $a+4=0$（缺项）且 $a-2\ne 0$。这样先定 $a$、再得二重特征值，即锁定标准形。

本题考查二次型的特征值、标准形与二次曲面分类。 二次型矩阵为 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}a& 2& 2\\ 2& a& 2\\ 2& 2& a\end{array}\right)$。

其特征多项式 $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=(\lambda -a-4)(\lambda -a+2{)}^2$，特征值为 $a+4$（单）与 $a-2$（二重）。故在正交变换下标准形为 $(a-2)y_1^2+(a-2)y_2^2+(a+4)y_3^2$。

方程 $f=-1$ 表示圆柱面，要求标准形恰缺一个平方项且另两项同号（形成圆），即需一个特征值为 $0$、另两个相等且非零。故 $a+4=0$ 且 $a-2\ne 0$，得 $a=-4$，此时二重特征值 $a-2=-6$，标准形为 $-6y_1^2-6y_2^2$，方程 $-6y_1^2-6y_2^2=-1$ 即圆柱面。应选 B。