2026 年考研数学（一） 第 21 题

这题的数字是为「试凑」准备的：${\mathbf{\alpha }}_4=-{\mathbf{\alpha }}_3$ 一眼可见，${\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_1$ 逐分量一核就对，(1) 因此不必化行最简形。凑出的两个表示式按列拼起来正好是满秩分解里的 $\mathbf{H}$，(1)(2) 用的是同一件事。求 ${\mathbf{A}}^{10}$ 的关键是结合律 $(\mathbf{G}\mathbf{H}{)}^{10}=\mathbf{G}(\mathbf{H}\mathbf{G}{)}^9\mathbf{H}$，把 $4\times 4$ 的高次幂降成 $2\times 2$ 的 $\mathbf{H}\mathbf{G}$，而它是上三角、幂易求。

分析：${\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 能直接用 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 凑出来，(1) 不必化行最简形；凑出来的两个表示式按列拼起来就是满秩分解 $\mathbf{A}=\mathbf{G}\mathbf{H}$ 里的 $\mathbf{H}$，再用 ${\mathbf{A}}^{10}=\mathbf{G}(\mathbf{H}\mathbf{G}{)}^9\mathbf{H}$ 降阶计算。

（1） 先看 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$：第一个分量都是 $1$，第二个分量一个是 $0$、一个是 $-1$，不成比例，故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关。
再把后两个直接凑出来（逐个分量核对即可）：
$${\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_4={\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2=-{\mathbf{\alpha }}_3.$$
既然 ${\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 都能由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性表示，整个向量组与 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 等价，秩为 $2$；而 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 本身线性无关，所以它是 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 的极大线性无关组。

通法备注：凑不出来时就对 $\mathbf{A}$ 作初等行变换化行最简形，主元列即极大无关组，非主元列的坐标就是线性表示的系数：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& -1& -1& 1\\ -1& 0& 1& -1\\ -1& -2& -1& 1\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$
读出来的关系和上面凑的完全一样。本题分量小，先试凑更快；分量一大就老老实实化简。

（2） （1）中已得 ${\mathbf{\alpha }}_3=-{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_4={\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2$。把四个向量各自的表示系数按列排好（${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 的系数就是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$），即得
$$\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)=\mathbf{G}\mathbf{H},\mathbf{H}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right).$$

注意 $\mathbf{H}\mathbf{G}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\\ -1& 0\\ -1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$，故 $(\mathbf{H}\mathbf{G}{)}^9=\left(\begin{array}{cc}1& -9\\ 0& 1\end{array}\right)$。

于是 ${\mathbf{A}}^{10}=(\mathbf{G}\mathbf{H}{)}^{10}=\mathbf{G}(\mathbf{H}\mathbf{G}{)}^9\mathbf{H}$：
$${\mathbf{A}}^{10}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\\ -1& 0\\ -1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -9\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -8\\ 0& -1\\ -1& 9\\ -1& 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& -8& -9& 9\\ 0& -1& -1& 1\\ -1& 9& 10& -10\\ -1& 7& 8& -8\end{array}\right).$$