2026 年考研数学（一） 第 22 题

第一个失效时间是 $n$ 个独立寿命的最小值，求最小值分布的标准做法是用生存函数相乘 $P(T>t)=\prod P(X_i>t)$，可得 $T$ 仍服从指数分布（均值 $\frac{\theta }{n}$）；无偏性 $E(aT)=\theta$ 立刻定出 $a$。第(2)问已给出似然函数，最大似然的固定套路就是取对数、对参数求导令零，注意 $\ln$ 把乘积与指数化成便于求导的和式。

分析：均值为 $\theta$ 的指数分布密度为 $f(x)=\frac{1}{\theta }{\mathrm{e}}^{-x/\theta }(x>0)$。第一个失效时间是 $n$ 个寿命的最小值，用最小值分布求密度；再由无偏性定 $a$；第（2）问对对数似然求导。

（1）(i) 设 $n$ 个元件寿命为 $X_1,\cdots ,X_n$（独立同分布），$T=\min \{X_1,\cdots ,X_n\}$。当 $t>0$ 时
$$P(T\le t)=1-\prod _{i=1}^{n}P(X_i>t)=1-{\left({\mathrm{e}}^{-t/\theta }\right)}^n=1-{\mathrm{e}}^{-nt/\theta }.$$
求导得概率密度 $g(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{n}{\theta }{\mathrm{e}}^{-nt/\theta },& t>0\\ 0,& t\le 0\end{array}$，即 $T$ 服从均值为 $\frac{\theta }{n}$ 的指数分布。

(ii) 由 $E(T)=\frac{\theta }{n},D(T)=\frac{{\theta }^2}{n^2}$。令 $E(\hat{\theta })=aE(T)=\frac{a\theta }{n}=\theta$，得 $a=n$。此时 $\hat{\theta }=nT$，$D(\hat{\theta })=n^{2}D(T)=n^2\cdot \frac{{\theta }^2}{n^2}={\theta }^2$。

（2）先写出似然函数。 这里的数据不是完整样本：只观察到最先失效的 $k$ 个元件的确切寿命 $t_1\le t_2\le \cdots \le t_k$，剩下的 $n-k$ 个到试验停止时仍未失效，只知道它们的寿命大于 $t_k$。这种数据称为截尾数据，似然函数要由两部分相乘而成：

- 已失效的 $k$ 个，各贡献一个密度 $f(t_i)=\frac{1}{\theta }{\mathrm{e}}^{-t_i/\theta }$；
- 未失效的 $n-k$ 个，各贡献一个生存概率 $P\{X>t_k\}=1-F(t_k)={\mathrm{e}}^{-t_k/\theta }$。

因此（略去与 $\theta$ 无关的组合常数）
$$L(\theta )=\prod _{i=1}^k\frac{1}{\theta }{\mathrm{e}}^{-t_i/\theta }\cdot ({\mathrm{e}}^{-t_k/\theta }{)}^{n-k}=\frac{1}{{\theta }^k}\exp \left\{-\frac{1}{\theta }[\sum _{i=1}^k{t}_i+(n-k)t_k]\right\}.$$
把未失效的那 $n-k$ 个也计进去，是本题最容易漏掉的一步；只乘前 $k$ 个密度会得到错误的估计。

取对数： $\ln L(\theta )=-k\ln \theta -\frac{1}{\theta }\left[\sum _{i=1}^k{t}_i+(n-k)t_k\right]$。对 $\theta$ 求导并令其为零：
$$\frac{\mathrm{d}\ln L}{\mathrm{d}\theta }=-\frac{k}{\theta }+\frac{1}{{\theta }^2}\left[\sum _{i=1}^k{t}_i+(n-k)t_k\right]=0.$$

解得 $\theta$ 的最大似然估计值为
$${\hat{\theta }}_L=\frac{1}{k}\left[\sum _{i=1}^k{t}_i+(n-k)t_k\right].$$