2026 年考研数学（一） 第 20 题

（1）中 ${\int }_{-1}^{1}f=0$ 把 ${\int }_{-1}^0$ 与 ${\int }_0^1$ 联系起来，用 $x=-t$ 代换叠到同一区间，靠严格递增得 $f(t)>f(-t)$ 定号，是处理“对称区间 $+$ 单调”的常用手法。（2）看到要证 $F^{\prime \prime }(\xi )=0$，立即想到“两次罗尔”：先验证 $F$ 在 $-1,0,1$ 三点同值（构造 $F$ 时已埋好都为 $0$），两次罗尔即降到二阶导。

分析：（1）用变量代换把 ${\int }_{-1}^0$ 化到 $[0,1]$ 并利用严格单调性；（2）证 $F$ 在三点取相同值，两次用罗尔定理。

（1） 由 ${\int }_{-1}^{1}f=0$ 及 $a={\int }_0^{1}f$，得 ${\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x=-a$。作代换 $x=-t$：${\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}f(-t)\mathrm{d}t$。于是
$$2a={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^1[f(t)-f(-t)]\mathrm{d}t.$$
因 $f$ 严格递增，当 $t\in (0,1)$ 时 $f(t)>f(-t)$，故被积函数恒正，积分 $>0$，即 $2a>0$，$a>0$。

（2） $F(x)$ 二阶可导。计算三个特殊点的值：
$$F(-1)=a\cdot 0+{\int }_1^{-1}f=-{\int }_{-1}^{1}f=0,F(0)=a+{\int }_1^{0}f=a-{\int }_0^{1}f=a-a=0,F(1)=a\cdot 0+0=0.$$

即 $F(-1)=F(0)=F(1)=0$。在 $[-1,0]$、$[0,1]$ 上分别用罗尔定理，存在 ${\xi }_1\in (-1,0),{\xi }_2\in (0,1)$ 使 $F^{\prime }({\xi }_1)=F^{\prime }({\xi }_2)=0$。

再对 $F^{\prime }(x)$ 在 $[{\xi }_1,{\xi }_2]$ 上用罗尔定理，存在 $\xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\subset (-1,1)$，使 $F^{\prime \prime }(\xi )=0$。证毕。