2026 年考研数学（一） 第 19 题

被积中的 ${\mathrm{e}}^{x^2}\sin x$、$y{\cos }^{4}y$ 都无法初等求原函数，这是“补线用格林公式”的强信号。补一条直线段把开曲线闭合，格林公式把线积分化成区域二重积分，而 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$ 恰为常数，二重积分化为面积计算；补线段上的积分再借奇偶对称性让难积的奇函数项自动消去。

分析：被积表达式含 ${\mathrm{e}}^{x^2}\sin x$、$y{\cos }^{4}y$ 等难以直接积分的项，宜添加辅助直线段用格林公式。

记 $P={\mathrm{e}}^{x^2}\sin x-2xy,Q=6x-x^2-y{\cos }^{4}y$，则 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(6-2x)-(-2x)=6$。

补一段从 $B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 到 $A\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 的直线段 $L_1:y=x,x:\frac{1}{2}\to -\frac{1}{2}$。$L+L_1$ 为逆时针闭曲线，所围区域 $D$ 是椭圆 $x^2+3y^2=1$（半轴 $1$ 与 $\frac{\sqrt{3}}{3}$）被直线 $y=x$ 分出的半个椭圆。由格林公式
$${\oint }_{L+L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\iint }_{D}6\mathrm{d}x\mathrm{d}y=6\cdot \frac{1}{2}(\pi \cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3})=\sqrt{3}\pi .$$

故 $I={\oint }_{L+L_1}-{\int }_{L_1}=\sqrt{3}\pi -{\int }_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$。在 $L_1$ 上 $y=x,\mathrm{d}y=\mathrm{d}x$，
$${\int }_{L_1}={\int }_{\frac{1}{2}}^{-\frac{1}{2}}\left[\right({\mathrm{e}}^{x^2}\sin x-2x^2)+(6x-x^2-x{\cos }^{4}x\left)\right]\mathrm{d}x.$$

被积函数中 ${\mathrm{e}}^{x^2}\sin x,6x,-x{\cos }^{4}x$ 均为奇函数，在对称区间上积分为 $0$；只剩偶函数 $-2x^2-x^2=-3x^2$。故
$${\int }_{L_1}={\int }_{\frac{1}{2}}^{-\frac{1}{2}}(-3x^2)\mathrm{d}x={\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}3x^2\mathrm{d}x=3\cdot \frac{2}{3}(\frac{1}{2}{)}^3=\frac{1}{4}.$$

因此 $I=\sqrt{3}\pi -\frac{1}{4}$。