2025 年考研数学（一） 第 6 题

把 $x{\alpha }_1+y{\alpha }_2+z{\alpha }_3={\alpha }_4$ 看成以 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 为系数矩阵、$(x,y,z{)}^{\mathrm{T}}$ 为未知的非齐次方程组，解集的几何形状由 $r(A)$ 与解结构决定（一维是直线、二维是平面），是否过原点看零向量是否为解。识别信号：${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 无关而 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 相关给出 $r(A)=2$，通解等于特解加一维齐次解即一条直线；再用 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_4=0$ 提供的特解判断是否过原点。

本题考查向量组的线性相关性、非齐次线性方程组解的结构及其几何意义。

记 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，$w=(x,y,z{)}^{\mathrm{T}}$，则方程组即 $Aw={\alpha }_4$。由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关得 $r(A)\ge 2$；由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关得 $r(A)\le 2$。故 $r(A)=2$，$Aw=0$ 的基础解系含 $3-2=1$ 个解向量，解集是一维的（一条直线的方向）。

由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关，存在不全为零的 $a,b,c$ 使 $a{\alpha }_1+b{\alpha }_2+c{\alpha }_3=0$，即 $(a,b,c{)}^{\mathrm{T}}$ 是 $Aw=0$ 的非零解。又由 ${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_4=0$ 得 $-{\alpha }_1-{\alpha }_2={\alpha }_4$，即 $(-1,-1,0{)}^{\mathrm{T}}$ 是 $Aw={\alpha }_4$ 的一个特解。

故通解为 $w=(-1,-1,0{)}^{\mathrm{T}}+k(a,b,c{)}^{\mathrm{T}}$（$k$ 为任意常数），几何图形是一条直线。若该直线过原点，则存在 $k$ 使 $k(a,b,c{)}^{\mathrm{T}}=(1,1,0{)}^{\mathrm{T}}$，即 $(a,b,c)$ 与 $(1,1,0)$ 平行，从而 $a{\alpha }_1+b{\alpha }_2+c{\alpha }_3=0$ 化为 $t({\alpha }_1+{\alpha }_2)=0(t\ne 0)$，得 ${\alpha }_1+{\alpha }_2=0$，与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关矛盾。故直线不过原点。

综上，应选 D。