2025 年考研数学（一） 第 7 题

出现 $r(A)+r(B)+r(C)$ 与 $r(ABC)$ 的等式，应联想 Sylvester 不等式 $r(A)+r(B)\le r(AB)+n$ 与 Frobenius 不等式 $r(AB)+r(C)\le r(ABC)+n$。识别信号：题给等式恰是这两条不等式叠加后的临界等号，等号成立就同时逼出①②；③④是更强的断言，需用具体反例（如取零矩阵）否定。

本题考查矩阵秩的不等式（Sylvester 不等式与 Frobenius 不等式）。

对 $n$ 阶矩阵有 Sylvester 不等式 $r(A)+r(B)\le r(AB)+n$，以及 $r(AB)+r(C)\le r(ABC)+n$。于是
$$r(ABC)\ge r(AB)+r(C)-n\ge (r(A)+r(B)-n)+r(C)-n=r(A)+r(B)+r(C)-2n.$$

由已知 $r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n$，即上述不等号处处取等号，故
$$r(AB)+n=r(A)+r(B),r(ABC)+n=r(AB)+r(C),$$
即 ① ② 均正确。

③ ④ 错误，举反例：取 $n=2$，$A=C=E,B=O$，则 $AB=BC=ABC=O$，$r(A)=r(C)=2,r(B)=r(ABC)=0$，满足 $r(A)+r(B)+r(C)=4=r(ABC)+2\times 2$；但此时 $r(A)=r(B)=r(C)=n$ 不成立，$r(AB)=r(BC)=n$ 也不成立。

综上，应选 A。