2025 年考研数学（一） 第 8 题

先用方差公式把 $D(aX+bY)$ 展开成含 $a^2,b^2,ab$ 的式子，代入二维正态的 $D(X)=D(Y)=1$、$\mathrm{Cov}(X,Y)=\rho$，再在约束 $a^2+b^2=1$ 下求最大。识别信号：约束 $a^2+b^2=1$ 使展开后只剩一个含 $ab$ 的项，最大化它只需基本不等式 $|2ab|\le a^2+b^2=1$。

本题考查二维正态分布的数字特征与方差的性质。

由 $(X,Y)\sim N(0,0;1,1;\rho )$ 知 $D(X)=D(Y)=1$，$\mathrm{Cov}(X,Y)=\rho \sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=\rho$。于是
$$D(aX+bY)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)=a^2+b^2+2ab\rho =1+2ab\rho .$$

由 $a^2+b^2=1\ge 2|ab|$ 得 $|2ab|\le 1$，故 $2ab\rho \le |2ab||\rho |\le |\rho |$，从而 $D(aX+bY)\le 1+|\rho |$。当 $2ab=\mathrm{sgn}(\rho )$（例如 $\rho >0$ 时取 $a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$）时等号成立。

故 $D(aX+bY)$ 的最大值为 $1+|\rho |$，应选 C。