2025 年考研数学（一） 第 9 题

题目明确要求『用泊松近似二项』，直接取 $\lambda =np$ 套泊松概率公式即可。识别信号：$T$ 是 $20$ 个独立 $B(1,0.1)$ 之和即 $B(20,0.1)$，$n$ 较大、$p$ 较小、$np=2$ 适中，正是泊松定理场景；$P\{T\le 1\}$ 只是 $k=0,1$ 两项之和。

本题考查泊松定理（用泊松分布近似二项分布）。

各 $X_i\sim B(1,0.1)$ 相互独立，故 $T={\sum }_{i=1}^{20}{X}_i\sim B(20,0.1)$。取 $\lambda =np=20\times 0.1=2$，由泊松定理，$T$ 近似服从参数 $\lambda =2$ 的泊松分布，即 $P\{T=k\}\approx \frac{2^k{e}^{-2}}{k!}$。

于是
$$P\{T\le 1\}=P\{T=0\}+P\{T=1\}\approx \frac{2^0{e}^{-2}}{0!}+\frac{2^1{e}^{-2}}{1!}=e^{-2}+2e^{-2}=3e^{-2}=\frac{3}{e^2}.$$

故应选 C。