2025 年考研数学（一） 第 10 题

方差已知的单个正态总体均值检验用 $Z$ 检验，关键是写对标准化统计量的分母 $\sigma /\sqrt{n}$。识别信号：$N(\mu ,2)$ 中的 $2$ 是方差 ${\sigma }^2$ 而非标准差，故 $\sigma =\sqrt{2}$；右侧备择 $H_1:\mu >1$ 的拒绝域为 $Z>z_{\alpha }$，反解回 $\bar{x}$ 的临界值即得。

本题考查单个正态总体（方差已知）均值的假设检验。

总体 $N(\mu ,2)$ 的方差 ${\sigma }^2=2$ 已知。对 $H_0:\mu \le 1,H_1:\mu >1$，采用 $Z$ 检验，取统计量 $Z=\frac{\bar{X}-1}{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{\bar{X}-1}{\sqrt{2/n}}$，在 $\mu =1$ 时 $Z\sim N(0,1)$。

右侧检验的拒绝域为 $Z>z_{\alpha }$，即
$$\bar{x}>1+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{z}_{\alpha }=1+\sqrt{\frac{2}{n}}{z}_{\alpha }.$$

故应选 D。